この記事で学べること#

• Small Perturbation Theory（小摂動理論）の前提条件
• Spiral Modeにおけるバンク角36°飽和現象
• 線形固有値解析と非線形シミュレーションの乖離
• cos(φ)誤差19%でφ=36°における線形理論の完全無効
• 非線形空力効果の重要性

対象読者#

• B-10「飛行力学の線形化理論とJSBSimでの応用」を読んだ方
• JSBSim不安定モードの実験を行う方
• 線形理論の限界を実験的に確認したい中級者

線形固有値解析では、Spiral Modeは指数関数的に発散すると予測されます。しかし、実際のJSBSimシミュレーションでは、バンク角が36°で飽和します。

本記事では、この36°飽和現象を通して、Small Perturbation Theory（小摂動理論）の適用限界を実験的に確認します。

Spiral Modeとは？#

横・方向の不安定モード#

Spiral Mode（スパイラルモード）は、横・方向の不安定モードで、バンク角が徐々に増大し、螺旋降下する現象です。

線形固有値解析の予測#

B-10で学んだ線形固有値解析では、Spiral Modeは以下のように予測されます。

λ = +0.0884 (1/s)  // 正の実数固有値（不安定）
T₂ = ln(2)/λ = 7.84 秒  // 倍化時間

予測される挙動:

• バンク角は指数関数的に増大: φ(t) = φ₀ · exp(λt)
• 7.84秒ごとにバンク角が2倍になる
• 最終的に90°を超えて垂直降下

36°飽和現象の発見#

系統的テストの実施#

7つの異なる初期条件でSpiral Modeをシミュレーションした結果、驚くべき発見がありました。

驚くべき結果#

1. 初期バンク角: 1.28° ~ 93.02°（72倍の範囲）
2. 最終バンク角: 36.62° ~ 36.82°（±0.1°に収束）
3. 全シナリオが36°に収束: 初期条件に関わらず

結論: 線形固有値解析が予測する「指数関数的発散」は、実際には起こらない。

なぜ36°で飽和するのか？#

Small Perturbation Theoryの前提条件#

線形固有値解析は、以下の前提条件に基づいています。

前提1: 小さな摂動（Small Perturbations）

φ, β, p, r ≪ 1  // バンク角、横滑り角、角速度が十分小さい

前提2: 三角関数の線形化

sin(φ) ≈ φ    // φが小さいとき
cos(φ) ≈ 1    // φが小さいとき

前提3: 定数空力微係数

空力微係数（Clβ, Cnβ等）が一定

線形化誤差の定量評価#

実際のバンク角での線形化誤差を計算します。

重要な発見:

• φ = 36°で、cos(φ)の誤差は19%
• MIL-F-8785C Spiral Mode試験では、**初期摂動≤20°**を規定
• φ > 20°では、線形理論の予測は無意味

36°飽和のメカニズム#

非線形空力による平衡点#

バンク角36°は、非線形空力効果による平衡点です。

力の釣り合い:

揚力の鉛直成分 = 重力
L · cos(36°) = mg

荷重倍数:

n = L / mg = 1 / cos(36°) ≈ 1.236

推力と抗力の釣り合い:

推力 = 抗力（定常旋回状態）

結論: バンク角36°で、航空機は定常協調旋回（steady coordinated turn）に移行します。これは線形理論では予測できない非線形平衡点です。

実験的検証#

テストケースの実装#

YAML設定ファイルで、Spiral Modeをシミュレーションします。

# spiral_aileron_5deg.yaml
aircraft:
  model: "edu280_tw12"

initial_conditions:
  altitude_m: 500.0  # 長時間シミュレーション用
  velocity_mps: 30.0
  pitch_deg: 0.0
  roll_deg: 0.0
  yaw_deg: 0.0

control:
  perturbation_phase:
    end_time_s: 13.0
    aileron_deg: 5.0  # 大きな摂動（93°のバンク角）

  observation_phase:
    end_time_s: 493.0  # 480秒観測
    aileron_deg: 0.0  # ニュートラルに戻す

simulation:
  dt_s: 0.01
  duration_s: 500.0

観測結果#

t = 13s:  φ = 93.02°  // 初期摂動後
t = 30s:  φ = 34.34°  // 急速に減少
t = 100s: φ = 36.62°  // 36°に収束
t = 500s: φ ≈ 36°    // 定常状態

結論: 初期バンク角93°から、約50秒で36°に収束します。

線形理論との比較#

線形理論の予測（誤り）#

t = 0s:   φ = 1°
t = 7.84s: φ = 2°   (倍化時間T₂)
t = 15.68s: φ = 4°
t = 23.52s: φ = 8°
t = 31.36s: φ = 16°
t = 39.20s: φ = 32°
t = 47.04s: φ = 64°
t = 54.88s: φ = 128° → **発散無限大**

実際のシミュレーション結果#

t = 0s:   φ = 1.28°
t = 20s:  φ = 2.06°  // 倍化時間は7.84sではない（ratio 1.61×）
t = 50s:  φ ≈ 30°   // 飽和開始
t = 100s: φ = 36.82° // **36°に収束**
t = 500s: φ ≈ 36°   // **定常状態**

重要な発見:

• φ < 20°: 線形理論とおおよそ一致
• φ > 20°: 線形理論は完全に破綻
• φ = 36°: 非線形平衡点に収束

教育的意義#

線形理論の限界を実感#

この36°飽和現象は、線形理論の限界を実感する最良の教材です。

学べること:

1. 線形理論は近似: 実際の飛行挙動とは異なる
2. 適用範囲の重要性: φ < 20°でのみ有効
3. 非線形効果の重要性: 大きな摂動では非線形空力が支配的
4. シミュレーションの価値: 実験なしには発見できない

MIL-F-8785C試験規格#

MIL-F-8785C Spiral Mode試験では、**初期摂動≤20°**を規定しています。これは、線形理論が有効な範囲内で試験を行うためです。

実装例: 36°飽和を確認する#

Pythonでのデータ解析#

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# CSVファイル読み込み
df = pd.read_csv('spiral_aileron_5deg.csv')

# バンク角のプロット
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(df['time'], df['phi_deg'], label='Bank Angle (φ)')
plt.axhline(y=36, color='r', linestyle='--', label='36° Saturation')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Bank Angle (deg)')
plt.title('Spiral Mode: 36° Saturation Phenomenon')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

予想される結果#

• 初期: φ ≈ 93°（急激な摂動）
• 中間: φ急速に減少
• 最終: φ → 36°（定常状態）

まとめ#

本記事では、Spiral Mode 36°飽和現象を通して、Small Perturbation Theory（小摂動理論）の適用限界を実験的に確認しました。

重要なポイント:

• 線形固有値解析はφ < 20°でのみ有効
• φ = 36°で、cos(φ)誤差19% → 線形理論完全無効
• 36°飽和は非線形空力による平衡点
• MIL-F-8785C試験規格は**初期摂動≤20°**を規定
• 線形理論の限界を実感する最良の教材

次のステップとして、Dutch Roll Mode実装（Cnr調整による実践的空力微係数調整）の記事に挑戦してみましょう。

参照資料#

本記事の執筆にあたり、以下の資料を参照しました [@nelson_flight_stability_1998; @mil_f_8785c_1980; @aircraft_flight_mechanics_linearisation_2025]。